Question

阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），其两点间的距离P1P2=

(x1-x2)2+(y1-y2

)2，
同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x₂-x₁|或|y₂-y₁|．例如P₁（2，-4）、P₂（7，8），其两点间的距离P1P2=

(2-7)2+(-4-8)2

=13
（1）已知A（2，4）、B（-3，-8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为-1，试求A、B两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（-1，5）、B（-3，1）、C（7，1），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
（4）在平面坐标系内A（1，4）、B（5，1），在x轴上是否存在点P使得△ABP为等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标，如果不存在请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据两点间的距离公式P1P2=

(x1-x2)2+(y1-y2

)2，来求A、B两点间的距离；
（2）根据两点间的距离公式|y₂-y₁|来求A、B两点间的距离；
（3）先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得AB、BC、AC的长度；最后根据三角形的三条边长和勾股定理的逆定理来判断该三角形的形状；
（4）假设存在P（a，0），分三种情况进行讨论，①当PB=PA时，②当PB=BA时，③当PA=AB时，分别求出满足△ABP是等腰三角形时a的值．

解答：解：（1）∵A（2，4）、B（-3，-8），
∴|AB|=

(-3-2)2+(-8-4)2

=13，即A、B两点间的距离是13；

（2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为-1，
∴|AB|=|-1-5|=6，即A、B两点间的距离是6；

（3）∵一个三角形各顶点坐标为A（-1，5）、B（-3，1）、C（7，1），
∴AB=2

5

，BC=10，AC=4

5

，
∵（2

5

）²+（4

5

）²=10²，
∴△ABC是直角三角形．

（4）假设存在P（a，0），
①当PB=PA时，

(5-a)2+12

=

(1-a)2+42

，
解得a=

9

8

，
此时P点坐标为（，0），
②当PB=BA时，

(5-a)2+12

=

(1-5)2+(4-1)2

，
解得a=5±2

6

，
此时P点坐标为（5+2

6

，0），
③当PA=AB时，

(1-a)2+42

=

(1-5)2+(4-1)2

，
解得a=-2或4，
此时P点坐标为（-2，0）或（4，0）．
综上所述，满足条件P的坐标（

9

8

，0），（5+2

6

，0），（5-2

6

，0），（-2，0），（4，0）．

点评：此题属于一次函数综合题，等腰三角形的性质，以及一次函数与x轴的交点，弄清题中材料中的距离公式是解本题的关键．