Question

如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；

(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．     

、

Answer 1

解：⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2)

        ∴ 解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2

       ⑵设AB交y轴于D，则D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，

         ∵PN∥y轴, ∴∠PNM=∠CDN=∠ADO, ∴Rt△ADO∽Rt△PNM.

∴.∴=×PN=PN.

   ∴当PN取最大值时, 取最大值.

  设P(m, -m+m+2) N(m, m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.

  ∵-1﹤m﹤3. ∴当m=1时,PN取最大值.

  ∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).

  ⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n) +t.

  ∵E在抛物线上，∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形. ∴DF=FE=EG=DG

连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2（n-）.

∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.

∴t=-.∴存在点E，坐标为E(,-).