Question

17．如图所示，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为2，△AEC的面积为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 ①由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果；②如图2，连接CE，过E作EF⊥BC于F，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：①如图1，连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为4，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2，
∴这个最小值为：2，
②如图2，连接CE，过E作EF⊥BC于F，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=1，BF=$\sqrt{3}$，
∴CF=2-$\sqrt{3}$，
∴S_△AEC=S_△ABE+S_△BCE-S_△ABC=$\frac{1}{2}×$2×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}×2×1$-$\frac{1}{2}×$2×2=$\sqrt{3}$-1，
故答案为：2，$\sqrt{3}$-1．

点评 此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题．