Question

6．在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点H是BC中点，过点H作DH⊥BC于H且与BA延长线相交于点D．
（1）如图1，连接CD，求证：△CBD是等腰三角形；
（2）如图1，当∠B=45°时，求证：BC=AB+2AD；
（3）如图2，当∠B=36°时，线段AB，AD，BC之间又存在怎样的数量关系？请给出证明

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到点D在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质得到CD=BD．于是得到结论；
（2）过A作AE⊥BC，可知AD=AE=BE，利用勾股定理可找到AB和AE之间的关系，且BC=2HB=$\sqrt{2}$BD，代入可证明结论；
（3）设DH、AC交于点O，过O作OG⊥BD，则OG=OH，且DG=AG，可得到AB、AD、BC之间的关系．

解答 解：（1）∵点H是BC的中点，DH⊥BC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴CD=BD．
∴△CBD是等腰三角形；
（2）证明：
如图2，过A作AE⊥BC，
∵∠B=∠BDH=45°，
∴∠DCH=45°，
∴∠CDB=90°，
∵∠DCB=∠DBC=2∠ACB，
∴AC平分∠DCB，且AD⊥CD，
∴AD=AE=BE，
∴BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，AD=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴BC=2BH=$\sqrt{2}$BD，
∵BD=AB+AD=AB+$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{2}$AB+AB=2AD+AB，
∴BC=AB+2AD；

（3）解：
设DH、AC交于点O，过O作OG⊥BD，连接OB，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=∠OBG=18°，
∴OG=OH，
在△OHB和△OGB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBH=∠OBG}\\{∠OGB=∠OHB}\\{OH=OG}\end{array}\right.$
∴△OHB≌△OGB（AAS），
∴BH=BG，
∵∠DBH=36°，
∴∠D=∠OAD=54°，
∴OD=OA，
∴DG=GA，
∴BG=BA+$\frac{1}{2}$AD，
∵BH=CH，
∴BC=2BH=2BG=2AB+AD，
AB、AD、BC之间的关系为：BC=2AB+AD．

点评 本题主要考查等腰三角形的判定和性质，通过条件构造等腰三角形是解题的关键，注意全等三角形的判定和方法．