Question

在平面直角坐标系里，如图，已知直线：交y轴于点A，交x轴于点B，三角板OCD如图1置，其中∠D=30°，∠OCD=90°，OD=7，把三角板OCD绕点．顺时针旋转15°，得到△OC₁D₁（如图2），这时OC₁交AB于点E，C₁D₁交AB于点F．
（1）求∠EFC₁的度数；
（2）求线段AD₁的长；
（3）若把△OC₁D₁，绕点0顺时针再旋转30．得到△OC₂D₂，这时点B在△OC₂D₂的内部、外部、还是边上？证明你的判断．

Answer 1

解：（1）∵AO=BO=3，
∴∠OAB=45°
∵∠AOE=45°，
∴∠AEO=∠AED₁=∠D₁EF=90°，∠ED₁F=30°，∴∠EFC₁=120°．

（2）∵∠AOE=∠OAE=45°，OA=3，
∴AE=OE=3，D₁E=4，
∴在Rt△AED₁中，AD₁=5．

（3）点B在△OC₂D₂内部；

设D₂C₂交x轴于点G，
∵∠C₂OG=45°，∠C₂=90°，
∴∠C₂GO=45°，
∴C₂O=C₂G=OD₂=3.5，
∴OG=，
∵OB=3＜，
∴点B在△OC₂D₂内部．
分析：（1）由直线AB的解析式可知，∠OAB=45°，图（1）中，∠AOD=30°，由旋转15°可知，图（2）中∠AOE=45°，根据三角形的内角和定理可得∠AEO=90°，根据∠EFC₁=∠D₁+∠D₁EF=∠D₁+∠AEO，求解；
（2）由（1）可知，△AEO为等腰直角三角形，而AO=3，可求OE=AE=3，故D₁E=0D₁-OE=4，在Rt△AED₁中，利用勾股定理求AD₁；
（3）再旋转30°，则∠C₂OG=45°，由OD₂=OD=7，∠D₂=30°，可求OC₂=3.5；在△OC₂G中，求OG并与OB进行比较即可．
点评：本题考查了直角坐标系中旋转的性质，需要根据旋转的角度，直角三角形的特殊性，解直角三角形．