Question

6．点P是反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上一点，连接OP．
（1）以OP为对角线作正方形OAPB，点A、B恰好在坐标轴上（如图1所示）．则正方形OAPB是面积为2；
（2）以OP为边作正方形OPCD，点C恰好在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上（如图2所示）．则正方形OPCD是面积为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）直接根据反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）系数k的几何意义求解；
（2）作OF⊥x轴垂足为F，作CE⊥PF与点E，作DH⊥CE与点H，交x轴与点G，则正方形OPCD分割成4个全等的直角三角形与一个正方形，设P（m，$\frac{2}{m}$），则
C（m+$\frac{2}{m}$，|$\frac{2}{m}-m$|），由S_△OCM=S_△OPF=1列出关于m的方程求其解，那么正方形的面积等于4个全等的直角三角形与一个正方形面积的和．

解答 解：（1）∵四边形OAPB是正方形
∴PA⊥y轴于点A，PB⊥x轴于B点，
∴矩形OAPB的面积=|2|=2．
故答案为：2；
（2）如下图2所示：作OF⊥x轴垂足为F，作CE⊥PF与点E，作DH⊥CE与点H，交x轴与点G，
易证：Rt△OFP≌Rt△PEC≌Rt△CHD≌Rt△DGO，且四边形EFGH为正方形
则：OF=PE=CH=DG，PF=CE=DH=OG


设P（m，$\frac{2}{m}$），C（m+$\frac{2}{m}$，|$\frac{2}{m}-m$|），
则：S_△ODM=$\frac{1}{2}$（m+$\frac{2}{m}$）|$\frac{2}{m}-m$|=1
当0＜m＜$\sqrt{2}$时，S_△OCM=$\frac{1}{2}$（m+$\frac{2}{m}$）（$\frac{2}{m}-m$）=1，
        即：$\frac{1}{2}$（m+$\frac{2}{m}$）（$\frac{2}{m}-m$）=1
        $\frac{4}{{m}^{2}}-{m}^{2}$=2…①
        解①得：m²=$\sqrt{5}$-1
        设正方形的边长为a，则其面积为a²，
        则a=$\frac{2}{m}-m$，
        a²=$\frac{4}{{m}^{2}}$+m²-4═$\frac{4}{{m}^{2}}$-m²+2m²-4=2m²-2=2$\sqrt{5}$-4
∴S_{正方形OPCD}=4×1+a²=4+2$\sqrt{5}$-4=2$\sqrt{5}$，
当m$≥\sqrt{2}$时，$\frac{1}{2}$（m+$\frac{2}{m}$）（m-$\frac{2}{m}$）=1     
       m²-$\frac{4}{{m}^{2}}$=2…②
       解②得：m²=$\sqrt{5}$+1
       则a=m-$\frac{2}{m}$，
        a²=$\frac{4}{{m}^{2}}$+m²-4═$\frac{4}{{m}^{2}}$-m²+2m²-4=2m²-6=2$\sqrt{5}$-4
∴S_{正方形OPCD}=4×1+a²=4+2$\sqrt{5}$-4=2$\sqrt{5}$，
综上所述：正方形OPCD是面积为2$\sqrt{5}$
故答案为：2$\sqrt{5}$

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、正方形的性质，解题的关键是根据正方形的性质将正方形OPCD分割成4个全等的直角三角形与一个正方形．