Question

8．阅读下列资料：关于x的方程x+$\frac{1}{x}$=a+$\frac{1}{a}$的解是：x₁=a，x₂=$\frac{1}{a}$．
（1）请观察上面方程以及方程解的特征，写出方程x+$\frac{m}{x}$=c+$\frac{m}{c}$（m≠0）的解，并利用“方程的解”的定义进行验证．
（2）利用上述结论求方程x+$\frac{2}{x-1}$=a+$\frac{2}{a-1}$的解．（写出过程）

Answer 1

分析 （1）本题可根据给出的方程的解的概念，来求出所求的方程的解．
（2）本题要求的方程和题目给出的例子中的方程形式不一致，可先将所求的方程进行变形．变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解．

解答 解：（1）x₁=c，x₂=$\frac{m}{c}$；
把x₁=c代入方程，得
左=c+$\frac{m}{c}$，右=c+$\frac{m}{c}$，
∴左=右．
把x₂=$\frac{m}{c}$代入方程，得
左=$\frac{m}{c}$+c，右=c+$\frac{m}{c}$，
∴左=右．
∴x₁=c，x₂=$\frac{m}{c}$是关于x的方程x+$\frac{m}{x}$=c+$\frac{m}{c}$（m≠0）的解；

（2）x+$\frac{2}{x-1}$=a+$\frac{2}{a-1}$，
两边同时减1变形为x-1+$\frac{2}{x-1}$=a-1+$\frac{2}{a-1}$，
∴x-1=a-1   x-1=$\frac{2}{a-1}$，
∴x₁=a，x₂=1+$\frac{2}{a-1}$，即x₂=$\frac{a+1}{a-1}$．

点评 本题考查了分式方程的解．要注意给出的例子中的方程与解的规律，还要注意套用列子中的规律时，要保证所求方程与例子中的方程的形式一致．