Question

如图1，已知点A₁，A₂，A₃是抛物线y=

1

2

x²上的三点，线段A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃都垂直于x轴，垂足分别为点B₁，B₂，B₃，延长线段B₂A₂交线段A₁A₃于点C．
（1）在图（1）中，若点A₁，A₂，A₃的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）若将抛物线改为y=

1

2

x²-x+1，如图2，点A₁，A₂，A₃的横坐标依次为三个连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长．

Answer 1

分析：（1）已知了A₁，A₂，A₃三点的横坐标，可代入抛物线的解析式中求出A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃的长，由于A₁，A₂，A₃的横坐标是连续的三个整数，那么可用中位线定理来求出CB2的长，由此可根据CA₂=CB₂-A₂B₂，求出CA₂的长．
（2）可先设出A₁，A₂，A₃的横坐标依，由于这三个横坐标也是连续的整数，因此可按照（1）的方法进行求解．

解答：解：（1）∵点A₁，A₂，A₃的横坐标依次为1，2，3，
∴A₁B₁=

1

2

×1=

1

2

，A₂B₂=

1

2

×4=2，A₃B₃=

1

2

×9=

9

2

；
由于A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，且B₁B₂=B₂B₃，
∴CB₂=

1

2

（A₁B₁+A₃B₃）=

5

2

，
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

5

2

-2=

1

2

．

（2）设：点A₁，A₂，A₃的横坐标依次为n-1，n，n+1，
∴A₁B₁=

1

2

（n-1）²-（n-1）+1，A₂B₂=

1

2

n²-n+1，A₃B₃=

1

2

（n+1）²-（n+1）+1；
由于A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，且B₁B₂=B₂B₃，
∴CB₂=

1

2

（A₁B₁+A₃B₃）=

1

2

[

1

2

（n-1）²-（n-1）+1+

1

2

（n+1）²-（n+1）+1]=

1

2

n²-n+

3

2

，
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

1

2

n²-n+

3

2

-（

1

2

n²-n+1）=

1

2

．

点评：本题考查了中位线定理，二次函数的应用等知识点，属于猜想类试题，解法不唯一，例如本题求CA₂长还可以用B₂点处两函数的差来求．