Question

如图，已知：抛物线y₁=x²-2mx+1，y₂=-x²-2mx-1，CE、DF分别是抛物线y₁、y₂的对称轴．
（1）请用2种不同的方法，判断抛物线平行四边形y₁、y₂中哪条经过点A，哪条经过点B？
（2）求证：CE=DF，并求m的取值范围；
（3）直线l垂直于x轴，与抛物线y₁、y₂分别交于MN两点，求线段MN的最小值．

Answer 1

解：（1）方法一：∵y₁=x²-2mx+1，a=1＞0；y₂=-x²-2mx-1，a=-1＜0，
∴y₁经过点A，y₂经过点B．
方法二：∵y₁=x²-2mx+1，c=1＞0；y₂=-x²-2mx-1，c=-1＜0，
∴y₁经过点A，y₂经过点B．

（2）∵y₁=x²-2mx+1=（x-m）²+1-m²，y₂=-x²-2mx-1=（x+m）²+m²-1，
CE=|m²-1|，DF=|1-m²|=|m²-1|，
∴CE=DF；
∵y₁=x²-2mx+1=（x-m）²+1-m²经过点A，
∴，
解得：0＜m＜1．

（3）∵y₁-y₂=（x²-2mx+1）-（-x²-2mx-1）=2x²+2，
∴当x=0时，MN_最小值=2．
分析：（1）由于A、B分别处于y轴的正半轴和负半轴上，若判断抛物线平行四边形y₁、y₂中哪条经过点A，哪条经过点B，可采用两种方法：①根据抛物线的开口方向判断，②根据抛物线与y轴的交点坐标判断．
（2）分别将两个函数关系式化为顶点式，然后求出它们的顶点坐标，即可得到CE、DF的长，然后进行比较即可；
在求m的取值范围时，以y₁为例，可根据抛物线的对称轴位置和顶点的位置来列不等式组，求出m的取值范围．
（2）线段MN的长，实际是两个抛物线函数值的差的绝对值，可令y₁-y₂，所得表达式即为MN的长，根据MN与x的函数关系式，即可求得MN的最小值．
点评：此题考查了二次函数的函数图象与系数的关系、顶点坐标的求法以及二次函数最值的应用，难度适中．