Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC
（1）求证：BD平分∠ABC
（2）若BC=2AB，求∠C的度数．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD平分∠ABC；

（2）解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∴∠AEF=∠DFE=90°，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=180°-∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD，
∵AD=DC，
∴EF=DC，
∵AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠C，AB=CD，
∵∠AEB=∠DFC=90°，
∴△AEB≌△DFC，
∴BE=CF，
∴CF=，
∵BC=2AB=2DC，
∴CF===，
在Rt△CFD中，cosC=，
∴∠C=60°．
分析：（1）要证明BD平分∠ABC，只可证明∠ABD=∠DBC即可；由平行线的性质与等边对等角定理即可证得∠ABD=∠DBC；
（2）求∠C的度数可过分别过A、D作梯形的高，在直角三角形中利用锐角三角函数求得．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的性质与判定．解题时注意梯形中辅助线的应用．