Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角边中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E．
（1）判断△EAP与△PDC一定相似吗？请证明你的结论；
（2）设PD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）是否存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求出PD的长；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

解：（1）△EAP∽△PDC，
①当P在AD边上时 如图（1），
∵矩形ABCD∠D=∠A=90°，
∴∠1+∠2=90°，
据题意∠CPE=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴△EAP∽△PDC，
②当P在AD边上时 如图（2）
同理可得△EAP∽△PDC；

（2）若点P在边AD上，
据题意：PD=x，PA=6-x，DC=4，AE=y，
又∵△EAP∽△PDC，
∴，
∴，
∴（0＜x＜6），
若点P在边DA延长线上时，据题意 PD=x，PA=x-6，DC=4，AE=y，
∵△EAP∽△PDC，
∴，
∴
∴（x＞6）；

（3）假如存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC的2倍，
若点P在边AD上，
∵△EAP∽△PDC，
∴C_△EAP：C_△PDC=（6-x）：4，
∴（6-x）：4=2，
∴x=-2 不合题意舍去，
若点P在边DA延长线上，同理得（x-6）：4=2，
∴x=14，
综上所述：存在这样的点P满足题意，此时PD=14．
分析：（1）根据当P在AD边上时以及当P在AD边上时，分别得出三角形相似；
（2）根据若点P在边AD上或点P在边DA延长线上时，利用相似三角形的性质得出y与x的关系式；
（3）假如存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC的2倍，若点P在边AD上，若点P在边DA延长线上分别得出即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用分类讨论思想结合P点位置的不同得出答案是解题关键．