Question

已知：如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，BE=AC，延长BE交于AC于F，求证：AF=EF．

Answer 1

证明：如图，延长AD至M，使DM=AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ACD和△MBD中，
，
∴△ACD≌△MBD（SAS），
∴∠M=∠CAD，AC=BM，
∵BE=AC，
∴BM=BE，
∴∠M=∠BEM，
∴∠BEM=∠CAD，
∵∠BEM=∠AEF（对顶角相等），
∴∠AEF=∠CAD，
∴AF=EF（等角对等边）．
分析：延长AD至M，使DM=AD，连接BM，利用边角边证明△ACD和△MBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠M=∠CAD，全等三角形对应边相等可得AC=BM，从而得到BM=BE，再根据等边对等角的性质可得∠M=∠BEM，然后推出∠AEF=∠CAD，再根据等角对等边的性质即可得证．
点评：本题考查了全等三角的判定与性质，“遇中线加倍延”，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键，本题还用到了等边对等角，等角对等边的性质．