Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=BC=1．
（1）求证：CE=CF；
（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；
（3）在（2）的条件下，求GC的长度．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠B=∠ADC=∠CDF=90°，
在△EBC和△FDC中
∵，
∴△EBC≌△FDC（SAS），
∴CE=CF．

（2）解：∵△EBC≌△FDC，
∴∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=90°-45°=45°，
∴∠GCD+∠DCF=45°，
∴∠GCF=45°．

（3）解：连接EG，
∠ECG=∠GCF=45°，
在△ECG和△FCG中
∵，
∴△ECG≌△FCG，
∴EG=GF，
∵DF=BE=BC=1，
∴BC=CD=AD=AB=4，
设AG=x，则DG=4-x，GF=4-x+1=5-x=EG，AE=4-1=3，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：3²+x²=（5-x）²，
解得：x=1.6，
DG=4-1.6=2.4，
在Rt△GCD中，由勾股定理得：GC==．
分析：（1）根据正方形性质得出BC=CD，∠BCD=∠B=∠ADC=∠CDF=90°，根据SAS证△EBC≌△FDC即可；
（2）求出∠BCE=∠DCF，求出∠BCE+∠DCG=45°，代入求出即可；
（3）连接EG，根据SAS证△ECG≌△FCG，推出EG=GF，设AG=x，求出EG=GF=5-x，在△AEG中根据勾股定理得出方程，求出AG，求出DG，根据勾股定理求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理等知识点，用了方程思想，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，有一定的难度．