Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A．
（1）观察图形，猜想BD与⊙O的位置关系：

相切

；
（2）证明第（1）题的猜想．

Answer 1

分析：（1）观察图形，可得BD与⊙O的位置关系：相切；
（2）首先连接OD，由AE是⊙O的直径，在Rt△ABC中，∠C=90°，易证得DE∥BC，又由∠CBD=∠A，可证得∠ODE+∠EDB=90°，即可证得结论．

解答：（1）解：相切．
故答案为：相切．

（2）证明：连接OD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠A+∠AED=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∵∠CBD=∠A，
∴∠EDB=∠A，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE+∠EDB=90°，
即OD⊥BD，
∴BD与⊙O的位置关系是相切．

点评：此题考查了切线的判定以及平行线的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．