Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P、Q均以相同的速度同时从点A出发，点P沿AB的方向运动，点Q沿ADC的方向运动，当点P运动到点B时，P、Q同时停止运动，以PQ为一边向上作正方形PQGH，设AP=x，正方形PQGH和矩形ABCD重合部分的面积为y，回答下列问题：
（1）当点G在CD上时，x=

1

，当点Q和点D重合时，x=

2

；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）当x为何时时，y取最大值．

Answer 1

分析：（1）当点G在CD上时，证明Rt△DQG≌Rt△AQP，求出AQ，即可得出x的值．当点Q和点D重合时，AP=AQ=AD=2．
（2）分三种情况讨论，①0＜x≤1，②1＜x≤2，③当2＜x≤4，分别画出图形，得出重合部分的面积表达式，从而可得y与x的函数关系式；
（3）根据（2）所画的图形或利用二次函数的最值即可作出判断．

解答：解：（1）当点G在CD上时，如图所示：

设AP=x，则AQ=x，
∴∠AQP=∠APQ=45°，
∴∠DQG=∠DGQ=45°，
在Rt△DQG和Rt△AQP中，

∠D=∠A ∠DQG=∠AQP QG=QP

，
∴Rt△DQG≌Rt△AQP，
∴AQ=DQ，
又∵AD=2，
∴AQ=1，
∴AP=1．即x=1；
当点Q和点D重合时，AP=AQ=AD=2，即x=2．
（2）①当0＜x≤1时，AP=AQ=x，QP=

2

x，
此时重合部分的面积为正方形PQGH的面积y=2x²（0＜x≤1）．
②当1＜x≤2时，如图1所示：
∵Q'G'=P'Q'=

2

x，Q'N=

2

DQ'=

2

（2-x）=2

2

-

2

x，
∴G'N=Q'G'-Q'N=

2

x-（2

2

-

2

x）=2

2

x-2

2

∴重合部分的面积为S_{正方形G'Q'P'H}'-S_△G'MN=（

2

x）²-（2

2

x-2

2

）²=-6x²+16x-8；
③当2＜x≤4时，如图2所示：
DQ=

2

x-2，AP=x，BP=BE=4-x，
∴S_重合=S_{长方形ABCD}-S_△BPE-S_梯形APQD=8-

1

2

（4-x）²-

1

2

（

2

x-2+x）×2=-

1

2

x²+（3-

2

）x+2；


（3）根据（2）所画图形可得，当点Q与点D重合时，重合部分的面积最大，此时x=2．

点评：本题考查了相似形的综合，解答本题的关键点在于找到几个特殊位置，①点G在CD上时，点Q运动到AD的中点，②点Q与点D重合时，点H和点C重合，注意画出每一阶段的图形，难度较大．