Question

为了进一步变化城市．某城市计划改建人民广场中心．一块边长为8米的正方形花圃，如图，AE=AF，点G、H、I分别是EE、CE、CF的中点，计划在△GHI内放置“奋进”大型塑像，在阴影部分种植荷花，其余部分种植茉莉．原来种植1平方米荷花和1平方米茉莉的总成本为200元，受季节和气候的影响，经核算荷花的种植成本提高了2成，茉莉的种植成本降低了1成，使每平方米荷花和每平方米茉莉的种植总成本提高了8%．
（1）试求出实际1平方米荷花和1平方米茉莉种植成本分别是多少元？
（2）若此花圃实际种植总成本为7956元，请求出AE的长度．

Answer 1

解：（1）设1平方米荷花种植成本为x元，1平方米茉莉种植成本为y元．列方程组得

则解得：
∴（1+20%）x=144，（1-10%）y=72
∴1平方米荷花种植成本为144元，
1平方米茉莉种植成本为72元．

（2）设AE=AF=x米，则荷花的种植面积为：[x2+×8（8-x）×2]平方米．
∵点G、H、I分别是EF、CE、CF的中点．
∴HI、GH、GI均为△CEF的中位线
易证△GHI∽△CEF，且相似比为1：2
∴茉莉的种植面积为：[82-x2-×8（8-x）×2]×平方米．
可得方程：[x2+×8（8-x）×2]×144+[82-x2-×8（8-x）×2]××72=7956
整理得：x²-16x+28=0解得：x₁=2，x₂=14（不合题意舍去）
∴AE的长度为2米．
分析：（1）设1平方米荷花种植成本为x元，1平方米茉莉种植成本为y元，根据题意列出方程组即可求得荷花种植成本和茉莉种植成本；
（2）设AE=AF=x米，则荷花的种植面积表示为：[x2+×8（8-x）×2]平方米，再根据点G、H、I分别是EF、CE、CF的中点得到HI、GH、GI均为△CEF的中位线，然后表示出茉莉的种植面积，根据种植成本为7956元列出方程求得x的值即可求得AE的长．
点评：本题考查了一元二次方程的应用及二元一次方程组的应用，同时还涉及到了相似三角形的判定与性质，在解决几何知识时用到了方程思想．