Question

16．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，AC=5，BC=4$\sqrt{2}$．
①AB的长为4+$\sqrt{2}$；
②若E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于F，当DE∥AC时，tan∠BCD的值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 ①如图作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，由∠AMB=90°，∠B=45°，推出BM=AM，AB=$\sqrt{2}$AM，设AM=BM=x，在Rt△AMC中，根据AC²=AM²+CM²，
可得方程5²=x²+（4$\sqrt{2}$-x）²，求出x即可解决问题．
②如图作FN⊥BC于N．由△ACF∽△ABC，得到AC²=AF•AB，推出AF=$\frac{25}{7}$，BF=AB-AF=$\frac{24}{7}$，求出FN、CN，根据tan∠BCD=$\frac{FN}{CN}$计算即可．

解答 解：①如图作AM⊥BC于M．
在Rt△ABM中，∵∠AMB=90°，∠B=45°，
∴BM=AM，AB=$\sqrt{2}$AM，设AM=BM=x，
在Rt△AMC中，∵AC²=AM²+CM²，
∴5²=x²+（4$\sqrt{2}$-x）²，
解得x=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍弃），
∴AB=$\sqrt{2}$x=7，
故答案为7．

②如图作FN⊥BC于N．
∵DE∥AC，
∴∠ACF=∠D=∠B，∵∠CAF=∠CAB，
∴△ACF∽△ABC，
∴AC²=AF•AB，
∴AF=$\frac{25}{7}$，
∴BF=AB-AF=7-$\frac{25}{7}$=$\frac{24}{7}$，
∴BN=FN=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
∴CN=BC-BN=4$\sqrt{2}$-$\frac{12\sqrt{2}}{7}$=$\frac{16\sqrt{2}}{7}$，
∴tan∠BCD=$\frac{FN}{CN}$=$\frac{\frac{12\sqrt{2}}{7}}{\frac{16\sqrt{2}}{7}}$=$\frac{3}{4}$，
故答案为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查翻折变换，解直角三角形、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．