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    如图1，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A和点B，与y轴相交于点C．
    （1）求A、B、C三点的坐标；
    （2）点D为射线CB上的一动点（点D、B不重合），过点B作x轴的垂线BE与以点D为顶点的抛物线y=（x-t）2+h相交于点E，从△ADE和△ADB中任选一个三角形，求出当其面积等于△ABE的面积时的t的值；（友情提示：1、只选取一个三角形求解即可；2、若对两个三角形都作了解答，只按第一个解答给分．）
    （3）如图2，若点P是直线y=x上的一个动点，点Q是抛物线上的一个动点，若以点O，C，P和Q为顶点的四边形为直角梯形，求相应的点P的坐标．

    【答案】分析：（1）令y=x2-2x-3=0，求出方程的两根，A、B两点的坐标即可求出，令x=0，求出y，C点的坐标可求出；
    （2）根据抛物线y=（x-t）2+h沿射线CB作平移变换，其顶点D（t，h）在射线CB上运动，易知直线CB的函数关系式为y=x-3，求出h与t之间的关系式，从△ADE和△ADB中任选一个三角形，求出当其面积等于△ABE的面积时的t的值即可；
    （3）设P点坐标为（a，a），根据点O，C，P和Q为顶点的四边形为直角梯形，分别讨论直角顶点的情况，求出a的值即可．
    解答：解：（1）当y=0时，x2-2x-3=0，解之得x1=-1，x2=3，
    所以A、B两点的坐标分别为（-1，0），（3，0）．
    当x=0时，y=-3，
    ∴C点的坐标为（0，-3）．

    （2）由题意可知，抛物线y=（x-t）2+h沿射线CB作平移变换，其顶点D（t，h）在射线CB上运动，易知直线CB的函数关系式为y=x-3，
    ∴h=t-3．
    ①选取△ADE．
    △ADE与△ABE共边AE，当它们的面积相等时，点D和点B到AE的距离相等，此时直线AE∥BC，
    ∴直线AE的函数关系式为y=x+1，
    ∴点E的坐标为（3，4）．
    因为点E在抛物线上，∴4=（3-t）2+h，
    ∴4=（3-t）2+（t-3），…（6分）
    解之得，t1=，t2=．              
    ②选取△ADB．
    △ADB与△ABE共边AB，当它们的面积相等时，点D和点E到x轴的距离相等，
    ∵点D到x轴的距离为|t-3|，点E到x轴的距离为|（3-t）2+（t-3）|，
    ∴|t-3|=|（3-t）2+（t-3）|．                            
    t-3=（3-t）2+（t-3），或3-t=（3-t）2+（t-3），
    解之得t=3或t=1，其中t=3时，点D、B重合，舍去，∴t=1．    
    （3）如图3：以OC为腰时，点Q与点A重合，
    故CP∥OA，
    ∵点C的坐标为（0，-3），
    ∴点P的纵坐标为-3，
    ∵点P在y=x上，
    ∴此时点P的坐标为（-3，-3）；
    如图4：

    以OC为腰时，过点C作y=x的平行线，则可求得与抛物线交点为B，此时可求出点P的坐标为（1.5，1.5）；
    如图以OC为底时，
    ①以OC为下底时，点Q与点A重合，
    ∵点A的坐标为（1，0），
    ∴点P的坐标为（-1，-1）；
    ②以OC为上底时，如图4，
    CQ∥x轴，
    ∵点C的坐标为（0，-3），
    ∴点Q的坐标为：（2，-3），
    ∵PQ∥OC，
    ∴点P的坐标为（2，2）．
    点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是掌握抛物线图象得性质和特点，特别是第三问要进行分类讨论，此题难度较大．
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    如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8：
    （1）此抛物线的解析式；
    （2）如图2，若点P为所求抛物线上的一动点，试判断以点P为圆心，PB为半径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
    （3）如图2，设点P在抛物线上且与点A不重合，直线PB与抛物线的另一个交点为Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接PO、QO．求证：△QMO∽△PNO．
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    如图1，已知抛物线y=-x2+b x+c经过点A（1，0），B（-3，0）两点，且与y轴交于点C．
    （1）求b，c的值．
    （2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
    （3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

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    （2013•南沙区一模）如图1，已知抛物线y=
    1
    2
    x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=2OA=4．
    （1）求该抛物线的函数表达式；
    （2）设P是（1）中抛物线上的一个动点，以P为圆心，R为半径作⊙P，求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标．
    （3）动点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点F从点B出发，以每秒
    		2
    个单位长度的速度向终点C运动，过点E作EG∥y轴，交AC于点G（如图2）．若E、F两点同时出发，运动时间为t．则当t为何值时，△EFG的面积是△ABC的面积的
    1
    3
    ？

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    如图1，已知抛物线y=ax2-2ax+b经过梯形OABC的四个顶点，若BC=10，梯形OABC的面积为18．
    （1）求抛物线解析式；
    （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，平移后的两条直线分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2-x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
    （3）如图3，设图1中点D坐标为（1，3），M为抛物线的顶点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

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    如图1，已知抛物线的顶点为A（O，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
    ①求证：PB=PS；
    ②判断△SBR的形状．

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