Question

如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（20，0）、（0，15），△CDE≌△AOB，且△CDE的顶点D与点B重合，DE边在AB上，△CDE以每秒5个单位长度的速度匀速向下平移．当点C落在AB边上时停止移动．设平移的时间为t（秒），△CDE与△AOB重叠部分图形的面积为s（平方单位）．
（1）求证：CE∥y轴；
（2）点E落在x轴上时，求t的值；
（3）当点D在线段BO上时，求s与t之间的函数关系式；
（4）如图②，设CD、CE与AB的交点分别为M、N，以MN为边，在AB的下方作正方形MNPQ，求正方形MNPQ的边与坐标轴有四个公共点时t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据全等三角形对应角相等可得∠CED=∠ABO，再根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）根据勾股定理求出AB的长，再根据全等三角形对应边相等求出DE，然后求出AE的长，然后根据相似三角形对应边成比例求出点E到y轴的距离，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；
（3）分①点E在x轴上方时，先表示出C′E，再根据∠CED的余弦和正弦表示出EF、C′F，然后根据重叠部分的面积=△CDE的面积-△C′EF的面积，列式整理即可得解；②点E在x轴下方时，再表示出E′G，根据∠E′的正切值表示出GH，然后根据重叠部分的面积=△CDE的面积-△C′EF的面积-△E′GF的面积，列式整理即可得解；
（4）利用△AOB的面积表示出AB边上的高线的长度为12，再根据BD表示出DM，根据CN的长用∠C的正弦值表示出MN的长，然后根据DM＞MN且DM≠12，列出不等式求解即可．

解答：（1）证明：∵△CDE≌△AOB，
∴∠CED=∠ABO，
∴CE∥y轴；

（2）解：∵点A、B的坐标分别为（20，0）、（0，15），
∴OA=20，OB=15，
∴AB=

OA2+OB2

=

202+152

=25，
∵△CDE≌△AOB，
∴DE=OB=15，
∴AE=AB-DE=25-15=10，
如图1，∵CE∥y轴，
∴△AEE′∽△ABO，
∴

EE′

OB

=

AE

AB

，
即

EE′

15

=

10

25

，
解得EE′=6，
∵△CDE的移动速度为每秒5个单位长度，
∴t=

6

5

；


（3）解：①点E在x轴上方时（0≤t≤

6

5

），如图1，C′E=25-5t，
则EF=C′E•cos∠CED=（25-5t）×

15

25

=3（5-t），
C′F=C′E•sin∠CED=（25-5t）×

20

25

=4（5-t），
重叠部分的面积=△CDE的面积-△C′EF的面积，
=

1

2

×20×15-

1

2

×3（5-t）×4（5-t），
=150-6（5-t）²，
=-6t²+60t，
②点E在x轴下方时，∵15÷5=3，
∴

6

5

＜t≤3，
如图2，GE′=5t-6，
∴GH=GE′•tan∠E′=（5t-6）×

20

15

=

4

3

（5t-6），
∴重叠部分的面积=△CDE的面积-△C′EF的面积-△E′GF的面积，
=

1

2

×20×15-

1

2

×3（5-t）×4（5-t）-

1

2

×（5t-6）×

4

3

（5t-6），
=150-6（5-t）²-

2

3

（5t-6）²，
=-

68

3

t²+100t-24，
所以，s=

-6t2+60t(0≤t≤ 6 5 ) - 68 3 t2+100t-24( 6 5 ＜t≤3)

；

（4）解：设△ABO的边AB上的高为h，则S_△ABO=

1

2

×25•h=

1

2

×20×15，
解得h=12，
∵△CDE的移动速度为每秒5个单位长度，
∴BD=5t，
DM=BD•sin∠ABO=5t•

20

25

=4t，
又∵CN=25-5t，
∴MN=CN•sin∠C=（25-5t）×

15

25

=3（5-t），
∵正方形MNPQ的边与坐标轴有四个公共点，
∴DM＜MN且MN≠h，
即4t＜3（5-t）且3（5-t）≠12，
解得t＜

15

7

且t≠1，
∴t的取值范围为：0≤t＜1或1＜t＜

15

7

．

点评：本题是相似综合题型，主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，综合性较强，难点较大，（3）要注意分情况讨论求解，（4）要排除坐标原点在正方形边上的情况．