Question

已知：如图，二次函数的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）.

（1）求该二次函数的关系式；

（2）写出该二次函数的对称轴和顶点坐标；

（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

（4）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）.问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）对称轴为，顶点坐标为（1,4.5）

（3）Q（1,0） （4）存在，或或或

【解析】

试题分析：（1）由题意，得 

解得 所求二次函数的关系式为：．

（2）对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4.5）

（3）设点的坐标为，过点作轴于点．

由，得，．

点的坐标为．

，．

，．，

即．．

．

又，

当时，有最大值3，此时．

（4）存在

在中．

（ⅰ）若，，．

又在中，，．．

．此时，点的坐标为．

由，得，．

此时，点的坐标为：或．

（ⅱ）若，过点作轴于点，

由等腰三角形的性质得：，，

在等腰直角中，．．

由，得，．

此时，点的坐标为：或．（ⅲ）若，，且，

点到的距离为，而，

此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形．

综上所述，存在这样的直线，使得是等腰三角形．

所求点的坐标为：或或或

考点：函数图象、函数解析式与几何的结合

点评：此类题目作为试卷的压轴题，难度一般不小，一般来说，第一第二问比较容易，而通过求出函数的解析式，进行接下来一系列的解答