Question

23、如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，连接BM．
（1）请你判断并写出∠BMD是∠ABM的几倍；
（2）如图2，在?ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，CE⊥AB，连接EM、CM，请问：∠AEM与∠DME是否也具有（1）中的倍数关系？若有，请证明；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据AM=AB可得出∠AMB=∠ABM=45°，从而可判断出∠BMD是∠ABM的几倍．
（2）延长EM、CD交于点F，先证△AEM≌△DFM，从而根据全等三角形的性质可证得AB∥CD，继而结合题意可证得结论．

解答：解：（1）∵AM=AB，
∴∠AMB=∠ABM=45°，
∴∠BMD=135°．
∴∠BMD=3∠ABM．
（2）证明：延长EM、CD交于点F．
∵AB∥CF
∴∠AEM=∠DFM．
又∵AM=DM，∠AME=∠FMD，
∴△AEM≌△DFM．
∴∠AEM=∠F，EM=FM．
∵四边形ABCD中平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC=∠ECD．
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°．
∴∠ECD=90°．
∴MC=MF．
∴∠MCF=∠F，
∴∠EMC=2∠F=2∠AEM．
又∵DM=CD，
∴∠DMC=∠MCF=∠F=∠AEM．
∴∠EMD=3∠AEM．

点评：本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，难度一般，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质及三角形全等的判定定理．