Question

如图，CD是直角三角形ABC的斜边AB上的高，I₁、I₂分别是△ADC、△BDC的内心，若AC=3，BC=4，则I₁I₂=

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：压轴题

分析：首先作I₁E⊥AB于E，I₂F⊥AB于F．在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AB的值，再运用射影定理求得AD、BD的长．因为I₁E为直角三角形ACD的内切圆的半径，即可求得I₁E的值．连接DI₁、DI₂，则DI₁、DI₂分别是∠ADC和∠BDC的平分线，利用垂直的定义，可得到I₁D⊥I₂D．利用在直角三角形中，直角边也对应角的关系，求得DI₁、DI₂的值，进而求得I₁I₂的值．

解答：解：作I₁E⊥AB于E，I₂F⊥AB于F，
在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=

AC2+BC2

=5，
又∵CD⊥AB，由射影定理可得AD=

AC2

AB

=

9

5

，
∴BD=AB-AD=

16

5

，CD=

AC2-AD2

=

12

5

，
∵I₁E为直角三角形ACD的内切圆的半径，
∴I₁E=

1

2

（AD+CD-AC）=

3

5

，
连接DI₁、DI₂，则DI₁、DI₂分别是∠ADC和∠BDC的平分线，
∵∠I₁DC=∠I₁DA=∠I₂DC=∠I₂DB=45°，
∴∠I₁DI₂=90°，
∴I₁D⊥I₂D，DI₁=

I1E

sin∠ADI1

=

3 5

sin45°

=

3 2

5

，
同理，可求得I₂F=

4

5

，DI₂=

4 2

5

，
∴I₁I₂=

I1D2+I2D2

=

2

．

点评：本题考查内切圆与内心、勾股定理、解直角三角形．解决本题的基本思路是首先求得两个内切圆I₁、I₂的半径，再利用勾股定理求得DI₁、DI₂，最后在证明I₁D⊥I₂D的基础上求得I₁I₂的值．