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    如图甲，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．
    （1）求点D的坐标；
    （2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
    （3）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，且GH为直径的圆与x轴相切，求这个圆半径的长；
    （4）如图乙，P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．

    解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，
    ∴，解得：
    抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3
    y=-（x-1）2+4
    ∴D（1，4）；

    （2）∵四边形AEBF是平行四边形，
    ∴BF=AE．
    ∵B（0，3），
    设直线BD的解析式为：y=kx+b，
    则，
    解得，
    ∴直线BD的解析式为：y=x+3
    当y=0时，x=-3
    ∴E（-3，0），
    ∴OE=3，
    ∵A（-1，0）
    ∴OA=1，
    ∴AE=2
    ∴BF=2，
    ∴F的横坐标为2，
    ∴y=3，
    ∴F（2，3）；

    （3）设直径为GH的⊙M切x轴于点N，连接MN，作HQ⊥x轴于Q，
    ∴MN⊥x轴，且MN=HM，
    ∴四边形MNQH为正方形．由抛物线的对称性得MH=MG，
    ∴M在抛物线的对称轴上，设M（1，a），
    ∴H（a+1，a），
    ∴a=-（a+1）2+2（a+1）+3，解得：
    a1=，a2=．
    ∴这个圆半径的长为：，．

    （4）如图，设Q（a，-a2+2a+3），作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P（2，3），
    ∴AR=a+1，QR=-a2+2a+3，PS=3，RS=2-a，
    ∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA
    =+-，
    ∴S△PQA=-（a-）2+，
    ∴当a=时，S△PQA的面积最大为，
    ∴Q（，）．
    分析：（1）利用待定系数法将A（-1，0）、B（0，3）两点的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3a求出a、b的值就可以求出抛物线的解析式．然后化为顶点式就可以就可以求出其顶点D的坐标．
    （2）根据点B的坐标，待定系数法即可求出直线BD的解析式，从而求出直线BD与x轴的交点E的坐标，就可以求出AE的长度，根据平行四边形的性质就可以求出BF=2，知道F的横坐标，代入抛物线的解析式就可以求出F的坐标．
    （3）根据抛物线的对称性和圆的而且显性质，可以知道M的横坐标，设出M的坐标，根据正方形的性质求出M的坐标，从而求出圆的半径．
    （4）设出Q点的坐标，作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，则利用S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA，就可以把其面积的表达式表示出来，最后化成顶点式就可以求出其最值和Q的坐标．
    点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，顶点坐标，平行四边形的性质的运用，圆的切线的性质的运用，三角形的面积公式的计算．
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    （2）请写出平移后点A′的坐标，记作
    （2，2）
    ．

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