Question

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm²，求△ABF的周长．

Answer 1

（1）证明：∵O是对角线AC的中点，
∴AO=CO，
∵矩形ABCD的边AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；

（2）解：∵AE=10cm，四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=10cm，
设AB=x，∵△ABF的面积为24cm²，
∴BF=，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，AB²+BF²=AF²，
即x²+（）²=10²，
x⁴-100x²+2304=0，
解得，x₁=6（舍去），x₂=8，
所以，BF==6cm，
所以，△ABF的周长=6+8+10=24cm．
分析：（1）利用“角边角”证明△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后证明四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明；
（2）根据菱形的四条边都相等可得AF=AE，设边AB=x，根据三角形的面积表示出BF，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理列式解方程求出x，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
点评：本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理的应用，（2）利用勾股定理列出方程是解题的关键．