Question

14．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m，n之间的关系式m=$\frac{1}{16}$n²-$\frac{1}{4}$n．

Answer 1

分析 将点A的坐标代入直线解析式求出a的值，继而将点A的坐标代入抛物线解析式可得出b的值，继而得出抛物线解析式；根据点D的坐标，可得出点E的坐标，点C的坐标，继而确定点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式可求出m，n之间的关系式．

解答 解：（1）∵点A（a，12）在直线y=2x上，
∴12=2a，
解得：a=6，
又∵点A是抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx上的一点，
将点A（6，12）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx，可得b=-1，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x．

（2）∵直线OA的解析式为：y=2x，
点D的坐标为（m，n），
∴点E的坐标为（$\frac{1}{2}$n，n），点C的坐标为（m，2m），
∴点B的坐标为（$\frac{1}{2}$n，2m），
把点B（$\frac{1}{2}$n，2m）代入y=$\frac{1}{2}$x²-x，可得m=$\frac{1}{16}$n²-$\frac{1}{4}$n，
∴m、n之间的关系式为m=$\frac{1}{16}$n²-$\frac{1}{4}$n，
故答案为m=$\frac{1}{16}$n²-$\frac{1}{4}$n．

点评 本题考查了矩形的性质、待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题需要同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系．