Question

已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=4，AD=BC=2，∠ABC=120°．P、Q分别为射线BC和线段CD上的动点，且CQ=2BP．
（1）如图1，当点P为BC的中点时，求证：△CPQ∽△DAQ；
（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，设BP=x，△APQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）以点A为圆心AQ为半径作⊙A，以点B为圆心BP为半径作⊙B，当⊙A与⊙B相切时，求BP的长．

Answer 1

解：（1）过点A作AM⊥CD，M为垂足，过点B作BN⊥CD，N为垂足
根据题意得：AM=BN，
AB=MN=4，DM=CN，
在直角三角形△ABN中，
∵∠DCB=60°，BC=2，CN=1，BN=，
∴DM=1，AM=，
∴CD=6，
∵点P为BC的中点，且CQ=2BP，
∴CP=1，CQ=2，DA=2，DQ=4，
∴
又∵∠QCP=∠D=60°，
∴△CPQ∽△DAQ；

（2）∵AB∥DC
∴，
∴
∴，
∴，
如图2，过点P作PH⊥CD交DC的延长线于H，
在直角三角形△CPH中，
∴∠PCH=60°，PC=x-2，，
∵S_△APQ=S_△PQE+S_△AQE
∴，
∴（2＜x≤3）；


（3）如备用图，过点A作AM⊥CD于M，
∵DM=1，DQ=6-2x，
∴QM=|5-2x|
在直角三角形△AQM中，，
当⊙A与⊙B外切时，AQ+BP=AB，，
解得：x₁=x₂=2，
当⊙A与⊙B内切时，|AQ-BP|=AB，
，
解得：，（舍去）
∴当BP=2时，⊙A与⊙B外切；
当时，⊙A与⊙B内切．
分析：（1）作出AM⊥CD，BN⊥CD，再利用已知得出AM=BN，AB=MN=4，DM=CN，进而求出；又∵∠QCP=∠D=60°，即可得出答案；
（2）利用AB∥DC得出，表示出CE的长，进而利用S_△APQ=S_△PQE+S_△AQE，得出y关于x的函数解析式；
（3）利用两圆外切的性质得出AQ+BP=AB，求出x的值，再利用当⊙A与⊙B内切时，|AQ-BP|=AB，求出即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及相切两圆的性质和平行线分线段成比例定理等知识，此题综合性较强，熟练应用相切两圆的性质是解决问题的关键．