Question

点P在等腰Rt△ABC的斜边AB所在直线上，若记：k=AP²+BP²，则（　　）

A．满足条件k＜2CP2的点P有且只有一个

B．B满足条件k＜2CP2的点P有无数个

C．C满足条件k=2CP2的点P有有限个

D．对直线AB上的所有点P，都有k=2CP2

Answer 1

当P为AB上时，假设P为中点时，AP=PB=PC，满足条件，
当点P不为中点时，过点C作AB的垂线，亦满足条件；
当点P在BA的延长线上时，过点P作PF⊥BC，PE⊥CA；


PC²=PF²+CF²，AP²=AE²+PE²=AE²+FC²=2CF²
PB²=BF²+PF²=PF²+（BC+CF）²=2PF²
AP²+PB²=2CF²+PF²+PF²
2PC²=2PF²+2CF²
所以AP²+PB²=2PC²，
即k=2CP²；
同理，当点P在AB的延长线上时，k=2CP²．
综上可知：k=2CP²．
故选D．