Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y=kx+3分别与x轴、y轴交于D、C两点，且CD=AB．
（1）求k的值；
（2）设P为直线CD上一点，Q为x轴上一点，直线AB、CD交于E点．
①当点P在线段CD上，且DP=BE时，求PE的长；
②当△DPQ≌△DOC时，请直接写出此时P点到直线AB的距离．

Answer 1

分析 （1）可先由直线解析式求得A、B坐标，则可求得AB的长，用k可表示出D点坐标，由CD=AB可得到关于k的方程，可求得k的值；
（2）①可先证△AOB≌△COD，进一步可证明△OBE≌△ODP，则可得△OPE为等腰直角三角形，过O作OF⊥CD于点F，则可知PE=2OF，利用等积法可求得OF的长，则可求得PE的长；②由条件可求得PQ∥AB，且DE⊥AB，利用平行线分线段可求得PE的长，即为P到AB的距离．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{4}{3}$x+4中，令y=0可求得x=3，令x=0可求得y=4，
∴OA=3，OB=4，
∴AB=5，
在y=kx+3中，令y=0可得x=-$\frac{3}{k}$，令x=0可得y=3，
∴OC=3，OD=$\frac{3}{k}$，
∵CD²=OC²+OD²，即9+$\frac{9}{{k}^{2}}$=25，解得k=-$\frac{3}{4}$（舍去）或k=$\frac{3}{4}$，
即k的值为$\frac{3}{4}$；
（2）①由（1）可知OD=4，
在△AOB和△COD中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOB=∠COD}\\{OB=OD}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴∠ABO=∠CDO，
在△OBE和△ODP中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{∠OBE=∠ODP}\\{BE=DP}\end{array}\right.$
∴△OBE≌△ODP（SAS），
∴OP=OE，∠BOE=∠POD，
∴∠POE=∠BOE+∠POC=∠POD+∠POC=∠DOC=90°，
∴△POE为等腰直角三角形，
过O作OF⊥DE于点F，如图1，则PE=2OF，

在Rt△OCD中，S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•OD=$\frac{1}{2}$CD•OF，
∴3×4=5OF，解得OF=$\frac{12}{5}$，
∴PE=2OF=$\frac{24}{5}$；
②当△DPQ≌△DOC时，如图2，则∠DPQ=∠COD=90°，

又∠EDA=∠ABO，
∴∠EDA+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠DEA=90°，
∴PQ∥AE，
∴$\frac{DP}{PE}$=$\frac{DQ}{AQ}$，
由题意可知OD=4，OA=3，OC=3，
∴DP=OD=4，DQ=DC=5，
∴AQ=DA-DQ=3+4-5=2，
∴$\frac{4}{PE}$=$\frac{5}{2}$，解得PE=$\frac{8}{5}$，
即点P到AB的距离为$\frac{8}{5}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例及等积法等知识．在（1）中求得OA、OB、OC、OD的长是解题的关键，在（2）①中证得△POE为等腰直角三角形是解题的关键，注意等积法的应用，在（2）②中确定出P到AB的距离是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．