Question

如图，在直线l上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD=6cm；在△ABC中：∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm；在直角梯形DEFG中：EF∥DG，∠DGF=90°，DG=6cm，DE=4cm，∠EDG=60度．解答下列问题：

（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，请你在图中作出旋转后的对应图形△A₁B₁C，并求出AB₁的长度；
（2）翻折：将△A₁B₁C沿过点B₁且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形△A₂B₁C₁，试判定四边形A₂B₁DE的形状并说明理由；
（3）平移：将△A₂B₁C₁沿直线l向右平移至△A₃B₂C₂，若设平移的距离为x，△A₃B₂C₂与直角梯形重叠部分的面积为y，当y等于△ABC面积的一半时，x的值是多少．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，由已知得：BC=2cm，AC=AB×cos30°=cm，
∴AB₁=AC+CB₁=AC+CB=cm．

（2）四边形A₂B₁DE菱形．
理由如下：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，
∴BC=AB=×4=2cm，
∵∠EDG=60°，∠A₂B₁C₁=∠A₁B₁C=∠ABC=60°，
∴A₂B₁∥DE，
又∵A₂B₁=A₁B₁=AB=4cm，DE=4cm，
∴A₂B₁=DE，
∴四边形A₂B₁DE是平行四边形，
又∵A₂B₁=AB=4cm，
B₁D=CD-B₁C=6-2=4cm，
∴A₂B₁=B₁D=4cm，
∴平行四边形A₂B₁DE是菱形．

（3）由题意可知：
S_△ABC=cm²，
①当0≤x＜2或x≥10时，y=0，
此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半．
②当2≤x＜4时，直角边B₂C₂与直角梯形的下底边DG重叠的长度为DC₂=C₁C₂-DC₁=（x-2）cm，
则y=（x-2）（x-2）=（x-2）²，
当y=S_△ABC=时，即（x-2）²=
解得（舍）或x=2+．
∴当x=2+cm时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半．
③当4cm≤x＜8cm时，△A₃B₂C₂完全与直角梯形重叠，即y=2cm²．
④当8cm≤x＜10cm时，B₂G=B₂C₂-GC₂=2-（x-8）=10-xcm
则y=（10-x）•（10-x）=（10-x）²，
当y=S_△ABC=时，即（10-x）²=，
解得x=10-cm，或x=10+cm（舍去）．
∴当x=10-cm时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半．
由以上讨论知，当x=2+cm或x=10-cm时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半．
分析：（1）根据旋转的定义得到CB′=CB，在直角三角形ABC中，根据三角函数就可以求出BC的长，即CB′的长，就可以求出AB₁的长度；
（2）四边形A₂B₁DE是菱形，可以证明A₂B与DE平行且相等，得到四边形A₂B₁DE是平行四边形，又A₂B₁=B₁D=4，所以平行四边形A₂B₁DE是菱形．
（3）y等于△ABC面积的一半时有两种情况，一种是当A₃B₂与DE相交时，即当2≤x＜4时：根据A₃B₂∥DE，得到则重合部分的三角形与△A₃B₂C₂相似，且面积的比等于相似比，就可以求出在直线L上重合部分的长度，得到C₁C₂的长度．从而求出x的值．
另外一种情况是当A₃B₂与FG相交时，同样，根据三角形相似就可以求出C₁C₂的长度．从而求出x的值．
点评：本题主要考查了旋转的性质，用运动变化的观点理解本题是解决的关键．