Question

观察下列各式

1+ 1 3

=2

1 3

，

2+ 1 4

=3

1 4

，

3+ 1 5

=4

1 5

…
按照上述三个等式及其变化过程，
①猜想5

1 6

=

 

，

 

=15

1 16

；
②试猜想第n个等式为

 

；
③证明②式成立．

Answer 1

分析：①注意观察左边的被开方数是一个整数+分数，其分数的分子是1，分母比其整数大2．右边的结果根号外的比左边的整数大1，根号内的是左边的分数．
②观察给出的例子得出规律：

n+ 1 n+2

=(n+1)

1 n+2

（n≥1）．
③根据完全平方公式和二次根式的性质即可证明．

解答：解：①猜想 5

1 6

=

4+ 1 6

，

14+ 1 16

=15

1 16

；
②根据规律，可以表示为：

n+ 1 n+2

=（n+1）

1 n+2

，
③验证如下：
左边=

n2+2n+1 n+2

=

(n+1)2 n+2

=（n+1）

1 n+2

=右边，等式成立；

点评：本题考查了完全平方公式和二次根式的性质．解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．本题的规律为：从1开始，一个数n加上n+2的倒数再开方等于n+1乘以n+2的倒数再开方．