Question

13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，点E、F分别在边AD、AB上．
（1）如图1，若点P与点O重合：①求证：AF=DE；②若正方形的边长为2$\sqrt{3}$，当∠DOE=15°时，求线段EF的长；
（2）如图2，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，证明：PE=2PF．

Answer 1

分析 （1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AOF≌△DOE根据全等三角形的性质证明；
②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；
（2）首先过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系．

解答 （1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°，
∴∠AOE+∠DOE=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠AOF+∠AOE=90°，
∴∠DOE=∠AOF，
在△AOF和△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠ODE}\\{OA=OD}\\{∠AOF=∠DOE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△DOE，
∴AF=DE；
②解：过点O作OG⊥AB于G，
∵正方形的边长为2$\sqrt{3}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∵∠DOE=15°，△AOF≌△DOE，
∴∠AOF=15°，
∴∠FOG=45°-15°=30°，
∴OF=$\frac{OG}{cos∠DOG}$=2，
∴EF=$\sqrt{O{F}^{2}+O{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
（2）证明：如图2，过点P作HP⊥BD交AB于点H，
则△HPB为等腰直角三角形，∠HPD=90°，
∴HP=BP，
∵BD=3BP，
∴PD=2BP，
∴PD=2HP，
又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，
∴∠HPF=∠DPE，
又∵∠BHP=∠EDP=45°，
∴△PHF∽△PDE，
∴$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PH}{PD}$=$\frac{1}{2}$，
∴PE=2PF．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．