Question

如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠B=60°，P、Q同时从A点出发，点P以1cm/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动．当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒，△APQ与△ABC重叠部分的面积为ycm²（规定：点和线段是面积为0的三角形）．
（1）当x=

8

秒时，P和Q相遇；
（2）当x=

（12-4

3

）

秒时，△APQ是等腰直角三角形；
（3）当x=

32

3

秒时，△APQ是等边三角形；
（4）求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）菱形ABCD的边长为8cm，∠B=60°，则易证△ABC是等边三角形，且边长是8cm．由点P、Q从出发到相遇，则两人所走的路程的和是24cm．设从出发到相遇所用的时间是x秒，据此列方程，求解即可；
（2）当P在AC上，Q在AB上时，由于∠PAQ=60°，则△APQ一定不是等腰直角三角形；当P在AC上，Q在BC上时，若△APQ是等腰直角三角形，由于∠PAQ＜60°，即△APQ中A点不能为直角顶点，如果∠PQA=90°，则∠PAQ=45°，∠QAB=15°，而∠B=60°，所以∠CQA=75°＜∠PQA，不合题意，即△APQ中Q点不能为直角顶点，所以只能∠APQ=90°，AP=PQ，根据这个相等关系，就可以得到一个关于x的方程，就可以得到x的值；当P在BC上，Q在CD上时，△APQ一定不是等腰直角三角形；
（3）当P在AC上，Q在AB上时，AP≠AQ，则△APQ一定不是等边三角形；当P在AC上，Q在BC上时，∠PAQ＜60°，则△APQ一定不是等边三角形；当P在BC上，Q在CD上时，若△APQ是等边三角形，则易证△ADQ≌△ACP，得出CP=DQ，根据这个相等关系，就可以得到一个关于x的方程，解方程即可求出x的值；
（4）求y与x之间的函数关系式，应根据0≤x≤4和4＜x≤8以及8＜x≤12三种情况进行讨论．把x当作已知数值，就可以求出y，即可得到函数的解析式．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=8cm，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
设点P，Q从出发到相遇所用的时间是x秒．
根据题意，得x+2x=24，
解得x=8秒．
即当x=8秒时，P和Q相遇；

（2）若△APQ是等腰直角三角形，则此时点P在AC上，点Q在BC上，如图．
∵△APQ是等腰直角三角形，∴∠APQ=90°，∴∠CPQ=90°．
∵AP=x，∴CP=AC-AP=8-x．
在△CPQ中，∵∠CPQ=90°，∠PCQ=60°，∴∠CQP=30°，
∴PQ=

3

CP=

3

（8-x）．
∵△APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°，∴AP=PQ，
即x=

3

（8-x），
解得x=12-4

3

．
故当x=（12-4

3

）秒时，△APQ是等腰直角三角形；

（3）若△APQ是等边三角形，则此时点P在BC上，点Q在CD上，如图．
且△ADQ≌△ACP，则CP=DQ，
即x-8=24-2x，解得x=

32

3

．
故当x=

32

3

秒时，△APQ是等边三角形；

（4）分三种情况讨论：
①当0≤x≤4时，
y=S_△AP1Q1=

1

2

AP₁×AQ₁×sin60°=

1

2

x•2x×

3

2

=

3

2

x²，
根据二次函数的性质，可知当x=4时，y有最大值

3

2

×16=8

3

；
②当4＜x≤8时，
y=S_△AP2Q2=

1

2

AP₂×CQ₂sin60°
=

1

2

x（16-2x）×

3

2

=-

3

2

x²+4

3

x，
根据二次函数的性质，可知当4＜x≤8时，y无最大值；
③当8＜x≤12时，设P₃Q₃与AC交于点O．
过Q₃作Q₃E∥CB，则△CQ₃E为等边三角形．
∴Q₃E=CE=CQ₃=2x-16．
∵Q₃E∥CB，
∴△COP₃∽△EOQ₃，
∴OC：OE=CP₃：EQ₃=（x-8）：（2x-16）=1：2，
∴OC=

1

3

CE=

1

3

（2x-16）．
∴y=S_△AOP3=S_△ACP3-S_△COP3=

1

2

CP₃×ACsin60°-

1

2

OC×CP₃sin60°
=

1

2

（x-8）×8×

3

2

-

1

2

×

1

3

（2x-16）（x-8）×

3

2

=-

3

6

x²+

14 3

3

x-

80 3

3

，
根据二次函数的性质，可知当x=12时，y有最大值-

3

6

×12²+

14 3

3

×12-

80 3

3

=

16 3

3

．
综上可知，当x=4时，y有最大值

3

2

×16=8

3

．
故答案为8，（12-4

3

），

32

3

．

点评：本题借助动点问题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，求函数的解析式及最值，综合性较强，难度较大．注意运用分类讨论及数形结合的思想是解决本题的关键．