Question

11．如图，矩形ABCD，点E是边AD上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F，将△BEF绕着点E逆时针旋转，使点B落在边BC上的点N处，点F落在边DC上的点M处，如果点M恰好是边DC的中点，那么$\frac{AD}{AB}$的值是$\frac{5\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 根据旋转的性质得到BE=EN，EM=EF，MN=BF，得到BF=FN=NM，推出四边形EFCD是矩形，根据矩形的性质得到EF=CD，由点M恰好是边DC的中点，得到DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$EM，设CN=x，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：如图，将△BEF绕着点E逆时针旋转得到△EMN，
∴BE=EN，EM=EF，MN=BF，
∵EF⊥BC，
∴BF=FN，
∴BF=FN=NM，
∵EF⊥BC，
∴四边形EFCD是矩形，
∴EF=CD，
∵点M恰好是边DC的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$EM，
∴∠DEM=30°，
∴∠DME=60°，
∵∠NME=90°，
∴∠CMN=30°，
设CN=x，
∴MN=2x，CM=$\sqrt{3}$x，
∴CD=2$\sqrt{3}$x，
∴BF=FN=NM=2x，
∴BC=5x，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BC}{CD}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．