已知矩形OABC中.OA=3.AB=6.以OA.OC所在的直线为坐标轴.建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转.得到矩形ODEF.当点B在直线DE上时.设直线DE和x轴交于点P.与y轴交于点Q．(1)求证:△BCQ≌△ODQ,(2)求点P的坐标,(3)若将矩形OABC向右平移(图2).得到矩形ABCG.设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直线为坐标轴，建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于点Q．

（1）求证：△BCQ≌△ODQ；
（2）求点P的坐标；
（3）若将矩形OABC向右平移（图2），得到矩形ABCG，设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的面积为S，OG=x，请直接写出x≤3时，S与x之间的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据正方形性质得出∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据全等得出CQ=DQ，在Rt△ODQ中由勾股定理得出OQ²=（6-OQ）²+3²，求出OQ=

，DQ=

，得出Q的坐标是（0，

），求出直线BD的解析式，即可得出答案；
（3）过D作DM⊥OP于M，求出OM、DM，分为两种情况：画出图形，求出GN，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：（1）证明：∵四边形OABC和四边形ODEF是矩形，
∴∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，
∵在△BCQ和△ODQ中

∠BCQ=∠ODQ

∠CQB=∠DQO

BC=OD

∴△BCQ≌△ODQ；
，
（2）解：∵△BCQ≌△ODQ，
∴CQ=DQ，
在Rt△ODQ中，∠ODQ=90°，OD=3，由勾股定理得：OQ²=OD²+DQ²，
则OQ²=（6-OQ）²+3²，
解得：OQ=

，DQ=

，
即Q的坐标是（0，

），
∵矩形ABCO的边AB=6，OA=3，
∴B的坐标是（-3，6），
设直线BD的解析式是y=kx+

，
把B的坐标代入得：k=-

，
即直线BD的解析式是y=-

，
把y=0代入得：-

=0，
解得：x=5，
即P的坐标是（5，0）；

（3）解：
过D作DM⊥OP于M，如图1，
∵∠DMO=∠ODQ=90°，OQ∥DM，
∴∠QOD=∠MDO，
∴△QDO∽△OMD，
∴

，
∴

，

即得：OM=

，DM=

，
OG=x，x≤3，
分为两种情况：①如图2，当0≤x≤

时，
∵DM=

，OM=

，OG=x，CG∥DM，
∴△ONG∽△ODM，
∴

，
NG=

x，
∴S=

×OG×GN=

•x•

x，
S=

x²；
②如图3，当

＜x≤3时，
在Rt△ODP中，由勾股定理得：PD=

52-32

=4，
∵DM=

，OM=

，
∴PM=5-

，
∵OG=x，CG∥DM，
∴△PGN∽△PMD，
∴

5-x

，
∴NG=

（5-x），
∴S=S_△ADP-S_△PGN=

×3×4-

•（5-x）•

（5-x），
S=-

x²+

，

即S和x的函数关系式是S=

x²（0≤x≤

）和S=-

x²+

（

＜x≤3）．

点评：本题考查了三角形的面积，矩形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要要进行分类讨论，题目是一道比较典型的题目，有一定的难度．

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