Question

19．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在BC上，且BE=2，BF⊥AE于F，交AC于点G，则AG的值为$\frac{9}{2}$$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图，延长BG交CD于M．先证明△ABE≌△BCM，得CM=BE=2，由CM∥AB，推出CM：AB=CG：AG=2：6=1：3，求出AC即可解决问题．

解答 解：如图，延长BG交CD于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=6，∠ABC=∠BCM=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵AE⊥BM，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠BAE=90°∠ABF+∠CBM=90°，
∴∠BAE=∠CBM，
在△ABE和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBM}\\{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCM=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCM，
∴CM=BE=2，
∵CM∥AB，
∴CM：AB=CG：AG=2：6=1：3，
∴AG=$\frac{3}{4}$AC=6$\sqrt{2}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{2}$$\sqrt{2}$．
故答案为$\frac{9}{2}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．