Question

如图，以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD=4，BD=6，则CB的长为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：作DH⊥BC于H，交半圆于F，过点F作FE⊥AB于E，连结AF、BF、AC，如图，根据折叠的性质得BF=BD=6，DH=FH，再根据圆周角定理得∠AFB=90°，在Rt△AFB中利用勾股定理计算出AF=8，接着利用面积法计算出EF=

24

5

，在Rt△BEF中根据勾股定理计算出BE=

18

5

，则DE=BD-BE=

12

5

，再在Rt△DEF中根据勾股定理计算出DF=

12 5

5

，则DH=

1

2

DF=

6 5

5

，接着在Rt△BDH中利用勾股定理又可计算出BH=

12 5

5

，然后证明DH∥AC，利用比例线段可计算出BC．

解答：解：作DH⊥BC于H，交半圆于F，过点F作FE⊥AB于E，连结AF、BF、AC，如图，
∵以半圆的弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，
∴BF=BD=6，DH=FH，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
在Rt△AFB中，∵AB=AD+BD=10，BF=6，
∴AF=

AB2-BF2

=8，
∴

1

2

EF•AB=

1

2

AF•BF，
∴EF=

6×8

10

=

24

5

，
在Rt△BEF中，∵EF=

24

5

，BF=6，
∴BE=

BF2-EF2

=

18

5

，
∴DE=BD-BE=6-

18

5

=

12

5

，
在Rt△DEF中，∵EF=

24

5

，DE=

12

5

，
∴DF=

EF2+DE2

=

12 5

5

，
∴DH=

1

2

DF=

6 5

5

，
在Rt△BDH中，∵BD=6，DH=

6 5

5

，
∴BH=

BD2-DH2

=

12 5

5

，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴DH∥AC，
∴

BH

BC

=

BD

BA

，即

12 5 5

BC

=

6

10

∴BC=4

5

．
故答案为4

5

．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆的对称性、圆周角定理和勾股定理．