Question

先因式分解(1),(2),(3),再解答后面的问题.

(1)1+a+a(1+a).

(2)1+a+a(1+a)+a(1+a)².

(3)1+a+a(1+a)+a(1+a)²+a(1+a)³.

问题:

①先探索上述因式分解的规律,然后写出1+a+a(1+a)+a(1+a)²+a(1+a)³+…+a(1+a)²⁰¹⁴因式分解的结果.

②请按上述方法因式分解:1+a+a(1+a)+a(1+a)²+a(1+a)³+…+a(1+a)ⁿ(n为正整数).

Answer 1

【解析】(1)原式=(1+a)(1+a)=(1+a)².

(2)原式=(1+a)[1+a+a(1+a)]=(1+a)(1+a)(1+a)=(1+a)³.

(3)原式=(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)²]

=(1+a)(1+a)[1+a+a(1+a)]

=(1+a)²(1+a)(1+a)

=(1+a)⁴.

①由(1),(2),(3)的规律可知,1+a+a(1+a)+a(1+a)²+a(1+a)³+…+a(1+a)²⁰¹⁴=(1+a)²⁰¹⁵.

②原式=(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)²+…+a(1+a)^n-1]

=(1+a)(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)²+…+a(1+a)^n-2]

=(1+a)²(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)²+…+a(1+a)^n-3]

…

=(1+a)^n-1(1+a)(1+a)=(1+a)ⁿ⁺¹.