Question

（1）已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x₁、x₂，则x₁=______，x
₂=______；x₁+x₂=______；x₁x₂=______．
（2）应用（1）的结论解答下列问题：已知x₁、x₂是关于x的方程x²-4kx+4=0的两个实数根，且满足：x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=-8．求k、x₁、x₂的值．

Answer 1

解：（1）根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得：x₁=，x₂=，
x₁+x₂=-，x₁x₂=．

（2）由（1）可得：x₁x₂==4，x₁+x₂=4k；
x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=-8可化简为（x₁+x₂）²-2x₁x₂-6（x₁+x₂）=-8，
代入可得：16k²-8-6×4k=-8；
解可得k₁=0（舍去），k₂=，
故x₁=3+，x₂=3-．
分析：（1）根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案；
（2）由（1）可得x₁、x₂的值与其间的关系，x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=-8可化简为（x₁+x₂）²-2x₁x₂-6（x₁+x₂）=-8，解可得k的值，进而可得x₁、x₂的值．
点评：主要考查了根的判别式和根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x₁+x₂=-，x₁x₂=．把所求的代数式变形成x₁+x₂，x₁x₂的形式再整体代入是常用的方法之一．