Question

如图，已知直线l₁∥l₂，l₃、l₄和l₁、l₂分别交于点A、B、C、D，点P在直线l₃或l₄上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；
（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．

Answer 1

解：（1）证明：过P作PQ∥l₁∥l₂，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．

（2）∠3=∠2-∠1；
证明：过P作直线PQ∥l₁∥l₂，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF-∠QPE，
∴∠3=∠2-∠1．


（3）∠3=360°-∠1-∠2．
证明：过P作PQ∥l₁∥l₂；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°-∠1-∠2．

（4）过P作PQ∥l₁∥l₂；
①当P在C点上方时，
同（2）可证：∠3=∠DFP-∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP-∠CEP+∠2-∠1=0，
即∠3=∠1-∠2．
②当P在D点下方时，
∠3=∠2-∠1，解法同上．
综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1-∠2，当P在D点下方时，∠3=∠2-∠1．
分析：此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l₁、l₂的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．
点评：此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键．