Question

10．若抛物线y=x²-4x+t（t为实数）在0≤x≤3的范围内与x轴有公共点，则t的取值范围为0≤t≤4．

Answer 1

分析 先利用配方法得到抛物线的顶点为（2，t-4），再分类讨论：当抛物线与x轴的公共点为顶点时，-，当抛物线在原点与对称轴之间与x轴有交点时，x=0，y＞0，所以4-t＞0，解得t＜4；当抛物线在（3，0）与对称轴之间与x轴有交点时即可得出结论．

解答 解：y=x²-4x+t=（x-2）²+t-4，
抛物线的顶点为（2，t-4），
当抛物线与x轴的公共点为顶点时，t-4=0，解得t=4，
当抛物线在0≤x≤3的范围内与x轴有公共点，
如图，t-4≤0，
解得t≤4，
则x=0时，y≥0，
即t≥0；
x=3时，y≥0，
即t-3≥0，
解得t≥3，此时t的范围为3≤t≤4，
综上所述，t的范围为0≤t≤4．
故答案为0≤t≤4．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．运用数形结合的思想是解决本题的关键．