Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，

2

3

），且与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），且A点坐标为（2，0）．

（1）求抛物线的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径的⊙M与直线CE相切于点E，CE交x轴点D，求直线CE的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标；
（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值；
（3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可．

解答：解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-4）²+

2

3

（a≠0）
∵抛物线经过（2，0）
∴a（2-4）²+

2

3

=0
解得：a=-

1

6

∴y=-

1

6

（x-4）²+

2

3

，
即：y=-

1

6

x²+

4

3

x-2，
当y=0时，0=-

1

6

x²+

4

3

x-2，
解得：x=2或x=6
∴B（6，0）；

（2）存在，
如图1，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，
因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB=6，OC=2
∴BC=2

10

，
∴AP+CP=BC=2

10

∴AP+CP的最小值为2

10

；

（3）如备用图，连接ME
∵CE是⊙M的切线
∴ME⊥CE，∠CEM=90°
由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE
∵在△COD与△MED中

∠COD=∠MED ∠ODC=∠EDM OC=ME

∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM
设OD=x
则CD=DM=OM-OD=4-x
则Rt△COD中，OD²+OC²=CD²，
∴x²+2²=（4-x）²
∴x=

3

2

∴D（

3

2

，0）
设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线CE过C（0，-2），D（

3

2

，0）两点，
则

3 2 k+b=0 b=-2

，
解得：

k= 4 3 b=-2

∴直线CE的解析式为y=

4

3

x-2．

点评：本题考查了二次函数的综合知识以及利用轴对称求最短路径和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用数形结合得出D点坐标是解题关键．