Question

（2011•宝坻区一模）正方形ABCD的边长为6，⊙O过B、C两点，⊙O的半径为

10

，那么AO的长为

58

或

34

．

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，由于⊙O的圆心在正方形ABC的内部与外部不能确定，故应分两种情况讨论：
①当⊙O的圆心在正方形ABCD的外部时，连接OB，过O作OG⊥AD于点G，交BC于点F，由垂径定理可知OF是BC的垂直平分线，再根据勾股定理求出OF的长；然后根据勾股定理在Rt△OAG中求得OA的长即可；
②当⊙O的圆心在正方形ABCD的外部时，连接OB，过O作OF⊥BC，OE⊥AB，E、F为垂足，由垂径定理可知OF垂直平分BC，进而可得出BF的长，由勾股定理可求出OF的长，由锐角三角函数的定义即可得出tan∠BAO的值．

解答：解：①当⊙O的圆心在正方形ABCD的外部时，如图1所示：
连接OB，过O作OG⊥AD于点G，交BC于点F，
∵AD∥BC，OG⊥BC，
∴OF是BC的垂直平分线，
∵BC=6，
∴BF=AG=3，
∵OB=

10

，
∴OF=

OB2-BF2

=1，
∴OG=OF+GF=7，
在Rt△OAG中，
OA=

AG2+OG2

=

58

；

②当⊙O的圆心在正方形ABCD的外部时，如图2所示：
连接OB，过O作OF⊥BC，OE⊥AB，E、F为垂足，
∴四边形OEBF是矩形；
∵BC=6，
∴BF=

1

2

BC=

1

2

×6=3（垂径定理）；
∴OE=BF=3，OF=BE，
在Rt△OBF中，OF=

OB2-BF2

=1，
∴BE=1，AE=AB-BE=6-1=5，
在Rt△OAE中，
OA=

AE2+OE2

=

34

；
故答案为：

58

或

34

．

点评：本题考查的是垂径定理、正方形的性质、勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．