如图.在Rt△ABC中.∠BAC=90°.∠C=60°.BC=16.动点P在BC边上.过动点P作PD⊥AB.D为垂足．(1)若△ABC与△DAP相似.则∠APD是多少度?(2)设BP=x.△APD的面积为y.求y与x之间的函数关糸式.并求出当x为何值时y值最大?最大值是多少?(3)现动点P以每秒4个单位的速度从点B向终点C移动.移动的时间为t.同时另一动点Q以每秒2个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=16，动点P在BC边上，过动点P作PD⊥AB，D为垂足．
（1）若△ABC与△DAP相似，则∠APD是多少度？
（2）设BP=x，△APD的面积为y，求y与x之间的函数关糸式，并求出当x为何值时y值最大？最大值是多少？
（3）现动点P以每秒4个单位的速度从点B向终点C移动，移动的时间为t（单位：秒），同时另一动点Q以每秒2个单位的速度从点A出发沿AC方向运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．以线段BP为直径作⊙O₁，以线段AQ为直径作⊙O₂，根据⊙O₁和⊙O₂的交点个数求相应的t的取值范围．

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）先根据在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°求出∠B的度数，再根据相似三角形的对应角相等即可得出结论；
（2）先根据锐角三角函数的定义求出AC、AB的长，再设BP=x，则DP=

x，BD=

x．AD=AB-BD=8

x，再根据y=

AD•DP即可得出x、y的函数关系式，求出y的最值即可；
（3）过O₂作O₂E⊥BC于点E，根据AO₂=t，得出O₂C=AC-AO₂=8-t，再根据勾股定理得出O₂E的长，根据BO₁=2t，可得出O₁E的长，假设两圆相外切，则有O₁O₂=t+2t=3t．在Rt△O₁O₂E中，有O₁O₂²=O₁E²+O₂E²，故可得出t的值，根据t＞0可知t=4

-4．再根据当t=4时，点P与点Q同时到达终点C，此时两圆相交即可得出结论．

解答：

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，
∴∠B=30°，
∵△DPA∽△ACB，
∴∠APD=60°，∠APD=30°；

（2）在Rt△ABC中，∠C=60°，BC=16，
∴AC=8，AB=8

．
∵BP=x，∴DP=

x，BD=

x．
∴AD=AB-BD=8

x，
∴y=

AD•DP=

（8

x）•

x=-

x²+2

x=-

（x-8）²+8

．
∵0＜x＜16，
∴当x=8时，y有最大值，最大值是8

；

（3）解法一：过O₂作O₂E⊥BC于点E，连O₁O₂，
∵AO₂=t，
∴O₂C=AC-AO₂=8-t．
在Rt△O₂EC 中，∠C=60°，
∴EC=

O₂C=4-

t，
∴O₂E=

O2C2-EC2

（4-

t），
∵BO₁=2t，
∴O₁E=BC-EC-BO₁=16-（4-

t）-2t=12-

t．
假设两圆相外切，则有O₁O₂=t+2t=3t．
在Rt△O₁O₂E中，有O₁O₂²=O₁E²+O₂E²
即（3t）²=（4-

t）²+（12-

t）²
化简得，t²+8t-32=0，
解得t=-4±4

．因为t＞0，
所以t=4

-4．…（12分）
又∵当t=4时，点P与点Q同时到达终点C，此时两圆相交．
∴综上所述当0＜t＜4

-4（或0≤t＜4

-4）时，两圆相离，没有交点；
当t=4

-4时，两圆外切，只有一个交点；
当4

-4＜t≤4时，两圆相交，有两个交点．…（14分）
解法二：连O₁O₂，
∵AO₂=t，BO₁=2t，
∴O₂C=AC-AO₂=8-t，CO₁=16-2t，
∵

CO2

CO1

，∠C=∠C，
∴△CO₁O₂∽△CBA，即：∠CO₂O₁=∠CAB=90°
则 CO22+O1O22=CO12
假设两圆相外切，则有O₁O₂=t+2t=3t．
∴（8-t）²+（3t）²=（16-2t）²
解得t=-4±4

．因为t＞0，
所以t=4

-4．…（12分）
又∵当t=4时，点P与点Q同时到达终点C，此时两圆相交．
∴综上所述当0＜t＜4

-4（或0≤t＜4

-4）时，两圆相离，没有交点；
当t=4

-4时，两圆外切，只有一个交点；
当4

-4＜t≤4时，两圆相交，有两个交点．
解法三：过O₁作O₁H⊥BA于点H，则 O₁O₂=HA，
∵BO₁=2t，∴BH=

t．
假设两圆相外切，
∵AO₂=t，则有O₁O₂=t+2t=3t．
∵BH+HA=BH+O₁O₂=AB
∴

t+3t=8

，解得：t=4

-4．
又∵当t=4时，点P与点Q同时到达终点C，此时两圆相交．
∴综上所述当0＜t＜4

-4（或0≤t＜4

-4）时，两圆相离，没有交点；
当t=4

-4时，两圆外切，只有一个交点；
当4

-4＜t≤4时，两圆相交，有两个交点．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的性质，圆与圆的位置关系、勾股定理等知识，难度较大．

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