Question

在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．
（Ⅰ）如图①，求证直线DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）如图②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB=5，AC=8，求DG的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接OD，由AB=BC，OA=OD，得到∠A=∠C，∠A=∠ADO，则∠C=∠ADO，得到OD∥BC；而DF⊥BC，则∠ODE=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（Ⅱ）连接BD，AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ADB=90°．而AB=BC，则AD=DC=4．在Rt△ADB中，利用勾股定理可计算出BD=3，再利用等积法得到AB•DH=AD•DB，可计算出DH，然后根据垂径定理得到DG=2DH．

解答：（Ⅰ）证明：连接OD，如图，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∴∠C=∠ADO．
∴OD∥BC．
∵DF⊥BC，
∴∠ODE=90°．
∴直线DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）解：连接DB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=BC，
∴AD=DC．
∵AC=8，
∴AD=4．
在Rt△ADB中，BD=

AB 2-AD2

=

52-42

=3，
∵DG⊥AB于H，
由三角形面积公式，得AB•DH=AD•DB．
∴DH=

4×3

5

=

12

5

，
∵AB⊥DG，
∴DG=2DH=

24

5

．

点评：本题考查了圆的切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理．