Question

如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（8，0），B点的坐标为（0，6），动点P以2/秒的速度从点B出发，沿BA向点A移动，同时动点Q以1/秒的速度从点A出发，沿AO向点O移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）．
（1）求AB的长；
（2）若四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17：3，求t的值；
（3）在P、Q两点移动的过程中，能否使△APQ与△AOB相似？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理可求得AB的长；
（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t，过P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO，由对应线段成比例求得PC=

3

5

(10-2t)；再由四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17：3，得出S△APC=

3

20

S△AOB，由三角形的面积公式求解；
（3）若△APQ与△AOB相似，则要考虑以下2种情况：①∠AQP=90°，②∠APQ=90°．

解答：解：（1）由已知得，OA=8，OB=6（1分）
在Rt△ABO中，∠O=90°，由勾股定理得，
AB=

OA2+OB2

=

82+62

=10（3分）

（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t
过P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO
∴

AP

AB

=

PC

OB

∴

10-2t

10

=

PC

6

解得，PC=

3

5

(10-2t)（4分）
∵四边形BPQO的面积：△APQ的面积的比=17：3
∴S△APC=

3

20

S△AOB（5分）
∴

1

2

t×

3

5

(10-2t)=

3

20

×

1

2

×6×8
解得，t₁=2，t₂=3（7分）

（3）若△APQ与△AOB相似，则有以下2种情况：
①∠AQP=90°
∴

AP

AB

=

AQ

AO

=

10-2t

10

=

t

8

（8分）
解得，t=

40

13

（9分）
此时，PQ=

3

5

(10-2t)=

30

13

，OQ=8-t=

64

13

∴P(

64

13

，

30

13

)（10分）
②∠APQ=90°
过P作PD⊥OA于D
∴

AP

AO

=

AQ

AB

10-2t

8

=

t

10

解得，t=

25

7

（11分）
此时，PD=

3

5

(10-2t)=

12

7

，OD=8-t=

31

7

，
∴P(

31

7

，

12

7

)（12分）
综上所述，满足条件的P点的坐标为(

64

13

，

30

13

)或(

31

7

，

12

7

)（13分）

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角形的面积计算、点的坐标等知识点，要注意第三问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．