Question

如图，抛物线y=

1

4

x2-4交x轴于点Q、M，交y轴于点P，点P关于x轴的对称点为N．
（1）求点M、N的坐标，并判断四边形NMPQ的形状；
（2）如图，坐标系中有一正方形ABCD，其中AB=2cm且CD⊥x轴，CD的中点E与Q点重合，正方形ABCD以1cm/s的速度沿射线QM运动，当正方形ABCD完全进入四边形QPMN时立即停止运动．
①当正方形ABCD与四边形NMPQ的交点个数为2时，求两四边形重叠部分的面积y与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②求运动几秒时，重叠部分的面积为正方形ABCD面积的一半．

Answer 1

分析：（1）令抛物线y=

1

4

x2-4=0，可求出Q，M的横坐标，令x=0，则可求出抛物线和纵轴的交点坐标，利用点关于x轴的对称点的规律可求出N点的坐标，进而可判定四边形NMPQ的形状；
（2）①当正方形ABCD与四边形NMPQ的交点个数为2时，两四边形重叠部分的面积y与运动时间t之间的函数关系式随时间的变化而变化，所以要分类讨论；
②当重叠部分的面积为正方形ABCD面积的一半时，由①中的函数关系式可求出此时的时间t．

解答：解：（1）令y=

1

4

x2-4=0，
解得：x₁=4，x₂=-4，
∴Q（-4，0），M（4，0），
令x=0，解得y=-4，
∴P（0，-4），
∴点P关于x轴的对称点N的坐标是（0，4），
∴OM=ON=OQ=OP，
又∵NP⊥QM，
∴四边形NMPQ的形状是正方形．

（2）①当0＜t≤1时，y=t ²；
当1≤t＜2时，y=2t-1；
当2≤t≤3时，y=4-（3-t）²．
∴y=

t2(0＜t≤1) 2t-1(1≤t＜2) 4-(3-t)2(2≤t≤3)

，
②当重叠部分的面积为正方形ABCD面积的一半即S=2时，
即y=2t-1=2，
∴t=

3

2

，
当2=t²，
t=

2

（不合题意舍去，∵0＜t≤1），

点评：本题考查了二次函数与几何知识（正方形）的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．