Question

如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．

Answer 1

解：以A为旋转中心，将△ABE旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，如图，
∴MN=BE，AN=AE，∠NAE=60°，
∴△ANE为等边三角形，
∴AE=NE，
∴AE+EB+EC=MN+NE+EC，
当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC=，
∵AB=AM，∠BAM=60°，
∴△ABM为等边三角形，
∴∠MBC=150°，则∠PBM=30°，
在Rt△PMC中，设BC=x，PM=
所以
所以x=2，
∴BC=2，
即正方形的边长为2．
分析：以A为旋转中心，将△ABE旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，根据旋转的性质得MN=BE，AN=AE，∠NAE=60°，则△ANE为等边三角形，得AE=NE，所以AE+EB+EC=MN+NE+EC，当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC=，易得△ABM为等边三角形，则∠MBC=150°，则∠PBM=30°，在Rt△PMC中，设BC=x，PM=，然后利用勾股定理即可求出x．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．