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(2010•湛江)如图所示,在平面直角坐标系中,点B的坐标为(-3,-4),线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合,点B的对应点为点A.
(1)直接写出点A的坐标,并求出经过A,O,B三点的抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C,使BC+OC的值最小?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如果点P是抛物线上的一个动点,且在x轴的上方,当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积.

【答案】分析:(1)首先求出OB的长,由旋转的性质知OB=OA,即可得到A点的坐标,然后用待定系数法即可求得该抛物线的解析式;
(2)由于O、A关于抛物线的对称轴对称,若连接AB,则AB与抛物线对称轴的交点即为所求的C点,可先求出直线AB的解析式,联立抛物线对称轴方程即可求得C点的坐标;
(3)可过P作y轴的平行线,交直线AB于M;可设出P点的横坐标(根据P点的位置可确定其横坐标的取值范围),根据抛物线和直线AB的解析式,可表示出P、M的纵坐标,即可得到PM的长,以PM为底,A、B纵坐标差的绝对值为高即可得到△PAB的面积,从而得出关于△PAB的面积与P点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质及自变量的取值范围,即可求得△PAB的最大面积及对应的P点坐标.
解答:解:(1)点A的坐标(5,0),
设抛物线的解析式为y=ax2+bx,




(2)由于A、O关于抛物线的对称轴对称,连接AB,
则AB与抛物线对称轴的交点即为所求的C点;
易求得直线AB的解析式为:y=x-
抛物线的对称轴为=
当x=时,y=×-=-
∴点C的坐标为(,-);

(3)过P作直线PM∥y轴,交AB于M,
设P(x,-x2+x),则M(x,x-),
∴PM=-x2+x-(x-)=-x2+x+
∴△PAB的面积:S=S△PAM+S△PBM
=PM•(5-)+PM•(+3)
=×(-x2+x+)×(5+3)
=-x2+x+10
=-(x-1)2+
所以当x=1,即P(1,)时,△PAB的面积最大,且最大值为
点评:此题主要考查了二次函数解析式的确定、最短路径问题、函数图象交点以及图形面积的求法等重要知识点,能够将图形面积问题转换为二次函数的最值问题是解决(3)题的关键.
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