Question

原题：“如图1，正方形ABCD中，BG是外角∠CBH的角平分线，E是AB上一点（不与A、B重合），EF⊥DE交BG于F，求证：DE=EF．”
证明的思路是：在AD上取一点M，使AM=AE，连接ME，由AAS可得△DME≌△EBF．
阅读了以上材料后，请你解答下列问题：
（1）如图2，如果将原题中的条件“正方形”改为“正三角形”，“EF⊥DE”改为“∠DEF=60°”，其它条件不变，原题的结论还成立吗？如果成立请给出正面，如果不成立请给出反例．
（2）如果将原题中的条件“正方形”改为“正五边形”，请你模仿原题写出一个真命题，并在图3中画出相应的图形．

Answer 1

解：（1）原结论还成立，即DE=EF．
在AD上取一点M，使AM=AE，连接ME，
∵△ABD是等边三角形，
∵∠A=60°，AM=AE，∴∠AEM=∠AME=60°
∴∠DME=60°+60°=120°，
∵∠DBH=120°，BG平分∠DBH，∴∠EBF=60°+60°=120°，
∴∠DME=∠EBF
∵∠DEF=60°，
∴∠DAE=∠DEF，
∴∠FEB+∠DEF=∠DAE+∠ADE，
∴∠ADE=∠FEB，
又∵DM=EB，∴△MDE≌△BEF，∴DE=EF．


（2）如图，正五边形ABCMN中，E在AB上，F在外角
∠CBH的角平分线上，∠NEF=108°，那么NE=EF．
证明：在AD上取一点M，使AM=AE，连接ME，
在正五边形ABCMN中，
∵∠A=×180=108°，AM=AE，∴∠AEM=∠AME==36°，
∴∠NME=108°+36°=144°，
∵∠CBH=180-108=72°，BG平分∠CBH，∴∠EBF=108°+36°=144°，
∴∠DME=∠EBF
∵∠NEF=108°，
∴∠DAE=∠DEF，
∴∠FEB+∠DEF=∠DAE+∠ADE，
∴∠ADE=∠FEB，
又∵DM=EB，∴△MDE≌△BEF，∴DE=EF．
分析：（1）在AD上取一点M，使AM=AE，连接ME，根据△MDE≌△BEF（ASA）来推出结论：DE=EF；
（2）在AD上取一点M，使AM=AE，连接ME，求出正五边形ABCMN的内角等于108°（×180°），在等腰三角形AME中求得∠AEM=∠AME==36°，再根据三角形的外角得∠NME=108°+36°=144°，BG是外角∠CBH的角平分线，所以很容易求得∠DME=∠EBF，∵∠FEB+∠DEF=∠DAE+∠ADE，∴∠ADE=∠FEB，到这里，证明△MDE≌△BEF（ASA）就不难了，再根据全等三角形的性质证明DE=EF．
点评：本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、多边形的内角与外角以及正方形的性质．