Question

已知在正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，∠E=90°，G为DF的中点，求证：CG⊥EG且CG=EG．

Answer 1

考点：正方形的性质,直角三角形斜边上的中线,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：根据正方形的性质可以得出∠BDC=45°，由直角三角形的性质就看由得出EG=CG=

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DF，EG=DG=CG，就可以求出∠GED=∠GDE，∠GDC=∠GCD，根据三角形的外角与内角的关系就可以得出∠EGC=90°，从而求出结论．

解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，∠BCD=90°．
∵∠DEF=90°，G为DF的中点，
∴EG=DG=

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DF，CG=DG=

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DF．
∴EG=CG，∠GED=∠GDE，∠GDC=∠GCD．
∵∠FGE=∠GED+∠GDE，∠FGC=∠GCD+∠GDC，
∴∠FGE=2∠GDE，∠FGC=2∠GDC，
∴∠FGE+∠FGC=2（∠GDE+∠GDC）．
∵∠GDE+∠GDC=∠BDC=45°，
∴∠FGE+∠FGC=90°．
∴∠EGC=90°，
∴CG⊥EG．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，垂直的判定的运用，解答时根据直角三角形的性质求解是关键．